// углублённый уровень · егэ #18

Линейные уравнения
и неравенства
с параметром

Параметр — дополнительная буква в уравнении. От её значения зависит: будет решение единственным, бесконечным или его вообще не окажется. Разбираем четыре типовые задачи и тринадцать примеров.

4 задачи с разбором
13 примеров
4 б. на ЕГЭ #18

Три сценария уравнения \(Ax = B\)

Любое линейное уравнение с параметром сводится к виду \(Ax = B\). В зависимости от значений \(A\) и \(B\) возможны ровно три исхода.

Единственное решение

Коэффициент при \(x\) не равен нулю: \(A \ne 0\).
пример \(0{,}2x - a = 1\;\Rightarrow\;x = 5(1 + a)\)

Нет решений

Коэффициент при \(x\) равен нулю, а свободный член — нет: \(A = 0\), \(B \ne 0\).
пример \(0 \cdot x = 1\;\Rightarrow\;0 = 1\) — противоречие.

Бесконечно много решений

Уравнение превращается в тождество: \(A = 0\), \(B = 0\).
пример \(0 \cdot x = 0\) — верно при любом \(x\).

Разбор четырёх задач

Выбери задачу — получишь пошаговое решение с анализом всех критических значений параметра.

13 примеров для тренировки

Уравнения, неравенства, системы, условия на параметр — все типовые задачи раздела.

Нажми на карточку, чтобы перевернуть её и увидеть решение.
пример 1
Решите уравнение \(0{,}2x - a = 1\)
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Переносим \(-a\) вправо: \(0{,}2x = 1 + a\). Делим на \(0{,}2\): \(x = 5(1 + a)\). Коэффициент при \(x\) не содержит параметра, поэтому решение единственное.
Ответ: \(x = 5(1 + a)\).
пример 2
Решите уравнение \(ax = 0\) при всех \(a\)
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Если \(a \ne 0\), делим на \(a\): \(x = 0\). Если \(a = 0\), уравнение \(0x = 0\) выполнено при любом \(x\).
Ответ: при \(a \ne 0\) \(x = 0\); при \(a = 0\) любое \(x\).
пример 3
Решите уравнение \((a-1)x = a + 3\)
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Критическое значение: \(a = 1\). Если \(a \ne 1\): \(x = \dfrac{a+3}{a-1}\). Если \(a = 1\): \(0x = 4\) — противоречие.
Ответ: \(a \ne 1\): \(x = \dfrac{a+3}{a-1}\); \(a = 1\): нет решений.
пример 4
Решите уравнение \((a^2 - 16)x = a - 4\)
нажми, чтобы перевернуть →
решение
\(a^2 - 16 = (a-4)(a+4)\). Критические значения: \(a = \pm 4\).
• \(a \ne \pm 4\): \(x = \dfrac{1}{a+4}\).
• \(a = 4\): \(0x = 0\) — любое \(x\).
• \(a = -4\): \(0x = -8\) — нет решений.
Ответ: \(a \ne \pm 4\): \(x = \tfrac{1}{a+4}\); \(a = 4\): любое \(x\); \(a = -4\): нет решений.
пример 5
При каких \(a\) и \(b\) уравнение \((a+5)x = 2b - 6\) имеет бесконечно много решений?
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Бесконечно много решений — когда уравнение превращается в \(0 = 0\). Требуем: \(a + 5 = 0\) и \(2b - 6 = 0\).
Ответ: \(a = -5\), \(b = 3\).
пример 6
При каких \(k\) и \(m\) уравнение \((k^2 + 2k - 3)x = m + 4\) не имеет решений?
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Нет решений — когда коэффициент при \(x\) равен нулю, а правая часть — нет. \(k^2 + 2k - 3 = 0 \Rightarrow (k-1)(k+3) = 0\). При этом \(m + 4 \ne 0\).
Ответ: \(k = 1\) или \(k = -3\), \(m \ne -4\).
пример 7
При каких \(b\) система не имеет решений? $$\begin{cases}-4x - 4by = b + 1 \\ (b+1)x + 2y = b + 3\end{cases}$$
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Система не имеет решений, когда коэффициенты пропорциональны, а правые части — нет. Пропорциональность: \(\dfrac{-4}{b+1} = \dfrac{-4b}{2}\), откуда \(b^2 + b - 2 = 0\), то есть \(b = 1\) или \(b = -2\). Проверяем правые части — оба значения дают противоречие.
Ответ: \(b = 1\) или \(b = -2\).
пример 8
Решите неравенство \(ax \le 0\) при всех \(a\)
нажми, чтобы перевернуть →
решение
• \(a > 0\): делим на положительное, знак сохраняется: \(x \le 0\).
• \(a < 0\): делим на отрицательное, знак меняется: \(x \ge 0\).
• \(a = 0\): \(0 \le 0\) — любое \(x\).
Ответ: три случая по знаку \(a\).
пример 9
Решите неравенство \((a^2 - 3a + 2)x \ge a - 1\)
нажми, чтобы перевернуть →
решение
\((a-1)(a-2)x \ge a - 1\).
• \(a = 1\): \(0 \ge 0\) — любое \(x\).
• \(a = 2\): \(0 \ge 1\) — нет решений.
• \(1 < a < 2\): \((a-1)(a-2) < 0\), \(x \le \dfrac{1}{a-2}\).
• \(a < 1\) или \(a > 2\): \(x \ge \dfrac{1}{a-2}\).
пример 10
При каких \(a\) из неравенства \(x + a \ge 1\) следует \(3x > a\)?
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Из первого: \(x \ge 1 - a\). Из второго: \(x > a/3\). Требуем, чтобы первый луч входил во второй: \(1 - a > a/3\), откуда \(a < 3/4\). Но для строгого следствия нужна строгая граница: \(a > 1/3\) (разбор подробнее — на уроке).
Ответ: \(a > \dfrac{1}{3}\).
пример 11
При каких \(a\) из неравенства \(2x + a < 2\) следует \(x < -2\)?
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Из первого: \(x < \dfrac{2 - a}{2}\). Требуем, чтобы каждое \(x\) из первого удовлетворяло второму: \(\dfrac{2 - a}{2} \le -2\), откуда \(a \ge 6\). Разбор с нюансами строгости — на уроке.
Ответ: \(a \ge 6\).
пример 12
При каких \(a\) неравенство \(a - x \le 3\) является следствием \(x > 4\)?
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Перепишем первое: \(x \ge a - 3\). Требуется, чтобы луч \(x > 4\) содержался в \(x \ge a - 3\): \(a - 3 \le 4\), откуда \(a \le 7\).
Ответ: \(a \le 7\).
пример 13
При каких \(a\) неравенства \(2x + a < 3\) и \(x - 4a < -1\) равносильны?
нажми, чтобы перевернуть →
решение
Решения: \(x < \dfrac{3 - a}{2}\) и \(x < 4a - 1\). Равносильность — совпадение границ: \(\dfrac{3 - a}{2} = 4a - 1\), откуда \(9a = 5\).
Ответ: \(a = \dfrac{5}{9}\).

Связанные темы

следующий шаг

Квадратный трёхчлен и параметр

Когда уравнение квадратное, а не линейное: анализ через дискриминант и график.
графический метод

Параметр на осях \(xOy\)

Как решать параметры геометрически — через построение на плоскости.
анализ функций

Анализ функции квадратного трёхчлена

Что происходит с параболой при изменении параметра: корни, вершина, промежутки.

Параметры не решаются?

Задание #18 на ЕГЭ — самая дорогая и самая сложная задача. Пришли любой пример — разберём на первом уроке и составим план подготовки.

Записаться на урок
Первый урок — бесплатно, без обязательств
Прокрутить вверх