Lite-Math: Интерактивная математика для ЕГЭ Профиль

Педальный треугольник и изогональное сопряжение

Определения. Педальный треугольник точки P относительно треугольника ABC — это треугольник D₁E₁F₁, где D₁, E₁, F₁ — основания перпендикуляров из P на стороны BC, CA и AB (возможно, продолженные).
Педальная окружность точки P — описанная окружность треугольника D₁E₁F₁.
Изогонально сопряжённая к P точка P₁ получается отражением лучей AP, BP, CP относительно биссектрис углов A, B, C треугольника ABC.
Прямая Симсона: когда точка P лежит на описанной окружности, педальный треугольник вырождается в прямую линию.

Свойства:

(а) Треугольник D₁E₁F₁ — педальный треугольник точки P относительно ABC.
(б) Последовательно строя педальные треугольники точки P, на третьем шаге получают треугольник A₃B₃C₃, подобный исходному треугольнику ABC.
(в) Точки D₁, E₁, F₁ лежат на одной окружности — педальной окружности точки P.
(г) Точки P и P₁ изогонально сопряжены; их педальные окружности совпадают, а центр этой окружности — середина отрезка PP₁.
(д) Когда P находится на описанной окружности, три точки основания перпендикуляров лежат на одной прямой, которую называют прямой Симсона.

Методические рекомендации

Педальный треугольник точки \(P\) относительно треугольника \(ABC\) — треугольник \(D_1E_1F_1\), где точки \(D_1, E_1, F_1\) — основания перпендикуляров, опущенных из \(P\) на стороны (или их продолжения) \(BC\), \(CA\), \(AB\) соответственно.

Практический совет: сначала «наиграйте» конфигурацию в интерактиве: двигайте точку \(P\) и вершины \(A,B,C\), наблюдайте, как меняется треугольник \(D_1E_1F_1\), его описанная окружность и изогонально сопряжённая точка \(P_1\). Потом уже формулируйте и доказывайте свойства.

Алгоритм исследования педального треугольника

Выбери треугольник и точку

Перетащи вершины \(A,B,C\), чтобы получить произвольный треугольник, затем выбери точку \(P\) внутри него.

Построй педальный треугольник

Включи перпендикуляры и 1‑й педальный треугольник \(D_1E_1F_1\). Убедись, что каждой стороне соответствует своя высота из точки \(P\).

Посмотри на итерации

Включи 2‑й и 3‑й педальные треугольники. Сравни углы \(\triangle ABC\) и \(\triangle A_3B_3C_3\) и сформулируй вывод о подобии.

Исследуй педальную окружность

Включи педальную окружность точки \(P\). Заметь, что точки \(D_1,E_1,F_1\) всегда лежат на ней, как бы ни двигалась точка \(P\).

Разбери изогональное сопряжение

Включи изогональные лучи и точку \(P_1\). По парам лучей одного цвета объясни, как работает преобразование «изогональное сопряжение» и почему педальные окружности \(P\) и \(P_1\) совпадают.

📘 Больше задач и разборов — в Telegram-канале

«Учится лёгким испугом»

Математика без паники: понятнее, чем в учебнике, и с лёгким чувством открытия.