Выполняем по шагам:
1. Найди область определения (ОДЗ)
Пример (ЕГЭ, №18):
Найти все \(a\), при которых уравнение \(\sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - x} = a\) имеет решения
Требуем: \(x - 2 \geq 0\) и \(4 - x \geq 0\)
\(x \in [2; 4]\)
Область определения функции — это множество всех допустимых значений переменной \(x\)
2. Построй статические функции на найденной области
Пример:
Для уравнения \(x^2 - 3x = 2a\) строим график \(y = x^2 - 3x\) на области определения
Находим вершину параболы: \(x_0 = 1{,}5\); \(y_0 = -2{,}25\)
Отмечаем точки пересечения с осями: \((0; 0)\) и \((3; 0)\)
Статические функции — это функции, не зависящие от параметра
3. Построй динамические функции (зависящие от параметра)
Пример:
Для уравнения \(x^2 - 3x = 2a\) строим семейство прямых \(y = 2a\)
Это горизонтальные прямые, параллельные оси \(x\)
Каждое значение параметра \(a\) дает свою прямую
Динамические функции описывают семейство кривых при различных значениях параметра
4. Найди точки пересечения графиков
Пример (ЕГЭ-2023, №18):
Для системы \(x^2 - 3x = 2a\) и \(y = 2a\) находим пересечения
Графики пересекаются, когда прямая \(y = 2a\) касается или пересекает параболу
Минимум параболы: \(y = -2{,}25\), значит \(2a \geq -2{,}25\)
Отсюда \(a \geq -1{,}125\)
5. Определи количество решений для разных значений параметра
Пример:
При \(a < -1{,}125\): решений нет (прямая ниже параболы)
При \(a = -1{,}125\): одно решение (прямая касается параболы)
При \(a > -1{,}125\): два решения (прямая пересекает параболу дважды)
Визуальный анализ помогает увидеть все случаи
6. Запиши ответ с учётом всех ограничений
Пример (ЕГЭ-2024, №18):
Уравнение имеет ровно два решения при \(a \in (-1{,}125; +\infty)\)
Ответ должен учитывать и ОДЗ, и условия пересечения
Проверь граничные случаи отдельно