Теорема синусов и её применение
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Более того, отношение любой стороны к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности:
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]
где \(a, b, c\) — длины сторон треугольника \(ABC\); \(\alpha, \beta, \gamma\) — противолежащие углы; \(R\) — радиус описанной окружности.
Геометрический смысл.
Если провести диаметр описанной окружности через вершину, он образует вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, что и исходный угол, либо ее дополняющую. Угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
Применение теоремы синусов:
- (а) Нахождение неизвестных сторон треугольника, если известны два угла и одна сторона.
- (б) Нахождение углов треугольника, если известны две стороны и угол, противолежащий одной из них.
- (в) Вычисление радиуса описанной окружности через любую сторону и противолежащий угол: \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\).
- (г) Установление связи между элементами треугольника и его описанной окружностью.
📘 Больше задач и разборов — в Telegram-канале
«Учится лёгким испугом»
Математика без паники: понятнее, чем в учебнике, и с лёгким чувством открытия.