// задание #5 · теоремы

Теоремы
о вероятностях

Сложение, умножение, полная вероятность, Бернулли, дерево — пять инструментов задания #5. Продолжение темы, где одной формулы \(m/n\) уже мало.

5 теорем
1 балл
~3 мин решения
#5
1 часть
1 балл
дерево решений
Как понять, какую теорему применять
«ИЛИ то, ИЛИ это» — достаточно, чтобы произошло хотя бы одно.
→ сложение
«И то, И это» — оба события должны произойти.
→ умножение
Событие идёт разными путями — из первой партии или из второй, и для каждой своя вероятность.
→ полная вероятность
Одно и то же испытание повторяется \(n\) раз, нужно ровно \(k\) успехов.
→ Бернулли
Несколько последовательных событий — хочется не запутаться в развилках.
→ дерево

Пять теорем

задание #5

Разбор каждой теоремы: когда применять, какая формула, алгоритм и типичная ловушка.

1

Сложение вероятностей

Пример. На экзамене 20 билетов. Ученик выучил 12. Какова вероятность, что ему попадётся билет №5 или билет №12?
Когда. Нужно, чтобы произошло хотя бы одно из событий (связка «ИЛИ»).
Несовместные (не могут случиться одновременно): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] Совместные (могут произойти вместе): \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
// шаг 1

Определи: несовместные?

Билет №5 и билет №12 не могут выпасть одновременно. Несовместные.

// шаг 2

Сложи вероятности

\( P = \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{20} = \dfrac{2}{20} = 0{,}1 \).

Ловушка. Для совместных событий просто складывать нельзя — одно пересечение посчитаем дважды. Нужно вычесть \(P(A \cap B)\).
2

Умножение вероятностей

Пример. Вероятность выигрыша одной жеребьёвки — 0,5. Какова вероятность выиграть три жеребьёвки подряд?
Когда. Нужно, чтобы все события произошли одновременно (связка «И»).
Независимые (одно не влияет на другое): \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Зависимые (например, вытаскиваем без возврата): \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A) \]
// шаг 1

События независимы?

Исход одной жеребьёвки не влияет на другие. Да, независимы.

// шаг 2

Перемножь

\( P = 0{,}5 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}125 \).

Ловушка. Достают без возвращения (шары из урны, карты из колоды) — события зависимы. После первого вытаскивания все вероятности меняются.
3

Формула полной вероятности

Пример. Агрофирма закупает яйца в двух хозяйствах: 40% из 1-го (среди них 5% высшей категории) и 60% из 2-го (среди них 30% высшей). Найти вероятность высшей категории.
Когда. Событие \(A\) может произойти через несколько путей (гипотез \(H_1, H_2, \ldots\)). \[ P(A) = \sum_i P(H_i) \cdot P(A \mid H_i) \] Идея. Для каждого пути: вероятность попасть на этот путь \(\times\) вероятность события на этом пути. Потом сложить.
// шаг 1

Выпиши гипотезы

\(H_1\): из 1-го хозяйства, \(P(H_1) = 0{,}4\).
\(H_2\): из 2-го, \(P(H_2) = 0{,}6\).

// шаг 2

Условные вероятности

\( P(A \mid H_1) = 0{,}05 \).
\( P(A \mid H_2) = 0{,}30 \).

// шаг 3

Перемножь и сложи

\( P(A) = 0{,}4 \cdot 0{,}05 + 0{,}6 \cdot 0{,}30 = 0{,}02 + 0{,}18 = 0{,}20 \).

Ловушка. Не путать доли (40% / 60%) с условными вероятностями (5% / 30%). Доли — это \(P(H_i)\), процент качества внутри каждой партии — это \(P(A \mid H_i)\).
4

Формула Бернулли

Пример. Баскетболист попадает в кольцо с вероятностью 0,7. Какова вероятность, что из 5 бросков он попадёт ровно 3 раза?
Когда. Одно и то же испытание повторяется \(n\) раз, вероятность успеха \(p\) постоянна. Нужно ровно \(k\) успехов. \[ P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] \(C_n^k\) — количество способов выбрать, какие именно \(k\) из \(n\) окажутся успешными.
// шаг 1

Выпиши \(n\), \(k\), \(p\)

\(n = 5\), \(k = 3\), \(p = 0{,}7\), \(1 - p = 0{,}3\).

// шаг 2

Найди \(C_n^k\)

\( C_5^3 = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10 \).

// шаг 3

Подставь в формулу

\( P = 10 \cdot 0{,}7^3 \cdot 0{,}3^2 = 10 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}09 \approx 0{,}309 \).

Ловушка. «Ровно 3» \(\ne\) «не менее 3».
«Не менее 3» = \(P(3) + P(4) + P(5)\), или короче: \(1 - P(0) - P(1) - P(2)\).
5

Дерево вероятностей

Пример. Учебник в двух коробках: в первой 40% тома 1 и 60% тома 2, во второй — наоборот. Вытащили коробку наугад, а из неё случайный учебник. Какова вероятность, что это том 1?
Когда. Несколько последовательных событий, и хочется не запутаться в развилках.
Правило. Идём по ветвям, умножаем вдоль пути. Чтобы получить итог события — складываем по всем путям, которые к нему ведут.
Это, по сути, визуальная форма полной вероятности и умножения — одновременно.
0,5 0,5 0,4 0,6 0,6 0,4 старт K₁ K₂ Том 1 из K₁ 0,5 · 0,4 = 0,20 Том 2 из K₁ 0,5 · 0,6 = 0,30 Том 1 из K₂ 0,5 · 0,6 = 0,30 Том 2 из K₂ 0,5 · 0,4 = 0,20
Благоприятный исход (том 1) Не подходит (том 2)
// шаг 1

Нарисуй ветви

Для каждого шага — своя развилка. На рёбрах пиши вероятности.

// шаг 2

Умножь вдоль путей

Для тома 1 подходят зелёные ветви: \(0{,}5 \cdot 0{,}4\) и \(0{,}5 \cdot 0{,}6\).

// шаг 3

Сложи по путям

\( P(\text{том 1}) = 0{,}20 + 0{,}30 = 0{,}5 \).

Проверка. Сумма вероятностей по всем листьям дерева должна давать ровно 1. Если получилось не единица — где-то ошибка в ветвях.

См. также

задание #4 · основа

Определение вероятности

С чего начинается тема: формула \(P = m/n\) и четыре типа задач первой части.
инструмент

Комбинаторика

Перестановки, размещения, сочетания — чтобы считать \(C_n^k\) без страха.
каталог

Все задания ЕГЭ

Полная карта 19 заданий: от первой части до параметров и чисел.

Задания #4 и #5 за один урок

Разберём дерево решений на реальных задачах ЕГЭ: какую теорему и где применять, чтобы не путаться в «И» и «ИЛИ» под давлением времени.

Записаться на урок
Первый урок — бесплатно, без обязательств
Прокрутить вверх