// ЕГЭ профиль · задание #14

Координатный метод
для стереометрии

Пошаговые алгоритмы для 7 типов задач из задания #14 ЕГЭ: расстояния, углы, уравнения плоскостей. Когда чертёж не получается — координаты всегда выручают.

7 алгоритмов
2 б. на ЕГЭ

Этап 0. Подготовка: «оцифровка» фигуры

Прежде чем применять формулы, нужно перевести геометрическую задачу на язык чисел.

1. Выбор системы координат Начало координат \((0;0;0)\) ставят в удобную вершину — обычно там, где сходятся три взаимно перпендикулярных ребра. Оси направляют вдоль рёбер.
2. Определение координат вершин Находим координаты \((x; y; z)\) всех важных точек.
Подсказка. Если точка лежит на плоскости \(XOY\), её координата \(z = 0\).
3. Координаты вектора Чтобы найти координаты вектора \(\vec{AB}\), вычтите из координат конца (\(B\)) координаты начала (\(A\)):
$$\vec{AB} = \{x_B - x_A;\; y_B - y_A;\; z_B - z_A\}$$

7 алгоритмов

Нажмите на алгоритм, чтобы раскрыть его содержание. Каждый — пошаговая инструкция с формулой.

1
Расстояние между двумя точками
Когда применять. Нужно найти длину отрезка или ребра.
Шаг 1. Выпишите координаты точек \(A(x_1; y_1; z_1)\) и \(B(x_2; y_2; z_2)\).
Шаг 2. Найдите разности координат: \((x_2 - x_1)\), \((y_2 - y_1)\), \((z_2 - z_1)\).
Шаг 3. Возведите каждую разность в квадрат и сложите их.
Шаг 4. Извлеките квадратный корень из суммы.
$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
2
Угол между двумя прямыми
Когда применять. Для скрещивающихся или пересекающихся прямых.
Шаг 1. Найдите направляющие векторы: \(\vec{p}\{x_1; y_1; z_1\}\) и \(\vec{q}\{x_2; y_2; z_2\}\).
Шаг 2. Вычислите скалярное произведение: \(S = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2\).
Шаг 3. Вычислите длины: \(|\vec{p}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2}\) и \(|\vec{q}| = \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}\).
Шаг 4. Найдите косинус угла по формуле.
$$\cos \varphi = \frac{|x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|}$$
Внимание. Модуль в числителе — обязателен: угол между прямыми по соглашению берётся острый или прямой.
3
Составление уравнения плоскости
Когда применять. Базовый шаг для поиска расстояний от точки до плоскости или углов с плоскостью.
Шаг 1. Возьмите три точки плоскости: \(A(x_1; y_1; z_1)\), \(B(x_2; y_2; z_2)\), \(C(x_3; y_3; z_3)\).
Шаг 2. Подставьте координаты каждой точки в общее уравнение \(ax + by + cz + d = 0\).
Точка \(A\): \(ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0\)
Точка \(B\): \(ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0\)
Точка \(C\): \(ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0\)
Шаг 3. Получили систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными \(a, b, c, d\).
Шаг 4. Примите одну из переменных за конкретное число: обычно \(d = 1\) (если плоскость не проходит через начало координат) или \(d = 0\) (если проходит).
Шаг 5. Решите получившуюся систему из трёх уравнений с тремя неизвестными.
Используйте метод подстановки или метод Гаусса.
Найдите значения оставшихся коэффициентов.
Шаг 6. Запишите итоговое уравнение плоскости: \(ax + by + cz + d = 0\).
$$ax + by + cz + d = 0$$
Совет. Если при подстановке всех трёх координат всё равно не получается однозначно определить коэффициенты, один из них берут равным 1.
Важно. Коэффициенты \(a, b, c\) — это координаты вектора нормали \(\vec{n}\{a; b; c\}\), который перпендикулярен плоскости.
Пример. Для точек \(A=(1,0,2)\), \(B=(2,1,1)\), \(C=(-1,2,1)\):
система \(a + 2c + d = 0\), \(2a + b + c + d = 0\), \(-a + 2b + c + d = 0\).
Приняв \(d = 1\) и приведя к целым коэффициентам: \(x + 3y + 4z - 9 = 0\).
4
Угол между прямой и плоскостью
Когда применять. Когда нужен угол, под которым прямая «входит» в плоскость.
Шаг 1. Найдите направляющий вектор прямой \(\vec{p}\{x_p; y_p; z_p\}\).
Шаг 2. Найдите вектор нормали плоскости \(\vec{n}\{a; b; c\}\) (из уравнения плоскости).
Шаг 3. Используйте формулу для синуса.
$$\sin \varphi = \frac{|a x_p + b y_p + c z_p|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{x_p^2 + y_p^2 + z_p^2}}$$
Ловушка. Косинус угла между вектором нормали и наклонной равен синусу угла между наклонной и плоскостью. Поэтому здесь именно \(\sin\), не \(\cos\)!
5
Расстояние от точки до плоскости
Когда применять. Самый быстрый способ решить сложную задачу на расстояние.
Шаг 1. Пусть дана точка \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) и уравнение плоскости \(ax + by + cz + d = 0\).
Шаг 2. Подставьте координаты точки в левую часть уравнения плоскости (в числитель формулы под модуль).
Шаг 3. Разделите на длину вектора нормали.
$$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
6
Угол между двумя плоскостями
Когда применять. Нужен линейный угол двугранного угла между плоскостями.
Шаг 1. Составьте уравнения обеих плоскостей.
Шаг 2. Выпишите нормальные векторы: \(\vec{n_1}\{a_1; b_1; c_1\}\) и \(\vec{n_2}\{a_2; b_2; c_2\}\).
Шаг 3. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями. Найдите его через косинус.
$$\cos \alpha = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$$
7
Расстояние от точки до прямой
Когда применять. Нужно кратчайшее расстояние от точки до прямой в пространстве.
Шаг 1. Пусть дана точка \(P(x_p; y_p; z_p)\), точка на прямой \(Q(x_q; y_q; z_q)\) и направляющий вектор прямой \(\vec{s}\{x_s; y_s; z_s\}\).
Шаг 2. Постройте вектор от точки на прямой до заданной точки:
\(\vec{QP} = \{x_p - x_q;\; y_p - y_q;\; z_p - z_q\}\)
Шаг 3. Найдите длину вектора \(\vec{QP}\):
\(|\vec{QP}| = \sqrt{(x_p - x_q)^2 + (y_p - y_q)^2 + (z_p - z_q)^2}\)
Шаг 4. Найдите косинус угла между \(\vec{QP}\) и \(\vec{s}\):
\(\cos \theta = \dfrac{\vec{QP} \cdot \vec{s}}{|\vec{QP}| \cdot |\vec{s}|}\)
где \(\vec{QP} \cdot \vec{s} = (x_p - x_q) x_s + (y_p - y_q) y_s + (z_p - z_q) z_s\)
Шаг 5. Переведите косинус в синус:
\(\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}\)
Шаг 6. Расстояние равно произведению длины вектора на синус угла.
$$d = |\vec{QP}| \cdot \sin \theta = |\vec{QP}| \cdot \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$$
Геометрический смысл. Вектор \(\vec{QP}\) — гипотенуза прямоугольного треугольника, а расстояние до прямой — перпендикулярный катет (\(|\vec{QP}| \cdot \sin \theta\)).
Не ошибись. В формуле для косинуса на шаге 4 модуль не ставим — знак важен для правильного вычисления синуса.
Связанная визуализация

Построение сечений 3D — интерактивная модель

Куб, призмы, пирамиды. Крути фигуру, ставь точки — линия и сечение достраиваются автоматически. Координатный метод и сечения часто идут в паре на задании #14.

Справочник формул

Все семь формул на одной странице — удобно держать во второй вкладке во время решения.

Алгоритм Формула Когда применять
Расстояние между точками \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\) Длина отрезка
Угол между прямыми \(\cos \varphi = \dfrac{|\vec{p} \cdot \vec{q}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|}\) Скрещивающиеся прямые
Уравнение плоскости \(ax + by + cz + d = 0\) По трём точкам плоскости
Угол прямая-плоскость \(\sin \varphi = \dfrac{|\vec{p} \cdot \vec{n}|}{|\vec{p}| \cdot |\vec{n}|}\) Здесь синус!
Точка до плоскости \(\rho = \dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\) Перпендикуляр
Угол между плоскостями \(\cos \alpha = \dfrac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|}\) Двугранный угол
Точка до прямой \(d = |\vec{QP}| \cdot \sin \theta\) Через синус угла

Что запомнить твёрдо

Три правила, на которых чаще всего спотыкаются на задании #14.

1

Модуль в числителе

При поиске углов и расстояний модуль в числителе обязателен — расстояние и косинус острого угла по определению неотрицательны.

2

Синус vs косинус

Синус — только в паре «прямая + плоскость». Во всех остальных формулах угла — косинус.

3

Проверка по единице

Если косинус или синус получился больше 1 по модулю — значит, где-то ошибка в вычислениях. Пересчитайте.

Координатный метод не встаёт?

Пришли свою задачу — разберём её на первом уроке. Покажу, как выбрать систему координат так, чтобы решение занимало одну страницу, а не три.

Записаться на урок
Первый урок — бесплатно, без обязательств
Прокрутить вверх