Lite-Math: Интерактивная математика для ЕГЭ Профиль

Метод интервалов для решения неравенств

Метод интервалов — специальный алгоритм решения рациональных неравенств вида $f(x) > 0$, $f(x) < 0$, $f(x) \ge 0$, $f(x) \le 0$. Суть метода: найти нули функции, отметить их на числовой прямой и определить знаки функции на полученных интервалах.

Пример задачи:

$(x + 1)(x - 1) \le 0$

Алгоритм решения:

Привести к стандартному виду

Перенести всё в левую часть: $f(x) \lessgtr 0$

Разложить на множители

Представить в виде $(x - a)(x - b)\ldots = 0$

Найти корни

Решить уравнение $f(x) = 0$: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$

Отметить на числовой прямой

Разместить корни в порядке возрастания на оси

Расставить знаки на интервалах

Определить знак на каждом интервале методом подстановки или чередования

Выбрать нужные интервалы

Отобрать интервалы согласно знаку неравенства

Примеры разных типов неравенств:

Нажмите на карточку, чтобы увидеть решение

Строгое неравенство:

$x^2 - 4 > 0$

Решение:
$(x - 2)(x + 2) > 0$
$x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$

Дробное неравенство:

$\dfrac{x + 3}{x - 2} \le 0$

Нули: $x = -3$
ОДЗ: $x \ne 2$
$x \in [-3; 2)$

Строгий полный квадрат:

$(x - 1)^2 > 0$

Квадрат $= 0$ только при $x = 1$
Иначе всегда $> 0$
$x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$

Дробь с ОДЗ:

$\dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 4} > 0$

$\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} > 0$
Решение:
$x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$

Квадратное неравенство:

$x^2 - 5x + 6 < 0$

$(x - 2)(x - 3) < 0$
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$
$x \in (2; 3)$

Четная степень в числителе:

$\dfrac{(x+1)^2(x-3)}{x-1} \le 0$

$(x+1)^2 \ge 0$ всегда
Нули: $x = -1, 3$; ОДЗ: $x \ne 1$
$x = -1$ или $x \in (1; 3]$

Отрицательный квадрат:

$-(x + 2)^2 > 0$

Квадрат $\ge 0$,
с минусом $\le 0$
Решение: $x \in \varnothing$

Приведение к нулю:

$\dfrac{x - 5}{x + 1} < 2$

$\dfrac{-x - 7}{x+1} < 0$
$x \in (-\infty; -7) \cup (-1; +\infty)$

С модулем в числителе:

$\dfrac{|x - 2|}{x + 1} > 0$

$|x - 2| \ge 0$ всегда
Нужно: $x + 1 > 0$ и $x \ne 2$
$x \in (-1; 2) \cup (2; +\infty)$

С модулем-множителем:

$|x + 1|(x - 2) \le 0$

$|x + 1| \ge 0$, равен 0 при $x = -1$
Нужно: $x - 2 \le 0$
$x \in (-\infty; 2]$

С корнем-множителем:

$\sqrt{x - 1} \cdot (x + 2) < 0$

ОДЗ: $x \ge 1$
$\sqrt{x - 1} \ge 0$, нужно $x + 2 < 0$
$x \in \varnothing$

С корнем в числителе:

$\dfrac{\sqrt{x + 3}}{x - 1} \ge 0$

ОДЗ: $x \ge -3$, $x \ne 1$
$\sqrt{x + 3} \ge 0$, нужно $x - 1 > 0$ или $x = -3$
$x = -3$ или $x \in (1; +\infty)$

Геометрический смысл метода интервалов

Метод интервалов основан на простом наблюдении: непрерывная функция может менять знак только при переходе через корни — точки, где она обращается в ноль.

Для квадратного неравенства $ax^2 + bx + c \lessgtr 0$ график представляет собой параболу. При $a > 0$ её ветви направлены вверх: между корнями функция отрицательна, а вне корней — положительна. При $a < 0$ картина обратная: ветви направлены вниз, между корнями функция положительна, а вне — отрицательна.

На числовой прямой корни делят ось на интервалы. Справа от большего корня знак функции всегда совпадает со знаком старшего коэффициента $a$. Далее при переходе через каждый корень знак меняется на противоположный (если корень встречается чётное количество раз, то знак не меняется).

Для дробно-рациональных неравенств $\dfrac{P(x)}{Q(x)} \lessgtr 0$ применяется та же логика, но с важным дополнением: точки, где знаменатель обращается в ноль, выкалываются из области определения, даже если числитель в них тоже равен нулю.

Решение неравенства — это те промежутки на числовой прямой, где функция принимает нужный знак. При строгих неравенствах ($>$, $<$) корни не включаются в ответ, при нестрогих ($\ge$, $\le$) — включаются, если они не являются нулями знаменателя.

Визуализация на числовой прямой превращает алгебраическую задачу в геометрическую: достаточно понять, где график «выше» или «ниже» оси.

📘 Больше задач и разборов — в Telegram-канале

«Учится лёгким испугом»

Математика без паники: понятнее, чем в учебнике, и с лёгким чувством открытия.