// уравнения · теорема + тренировка

Теорема
Виета

Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Алгоритм: сначала произведение, потом сумма — и никакого дискриминанта.

5 шагов

9 карточек

SVG визуализация

Суть теоремы

Теорема Виета связывает коэффициенты приведённого квадратного уравнения

x^2 + px + q = 0

с его корнями:

x_1 + x_2 = -p

x_1 \cdot x_2 = q

Практический совет: при решении проще сначала найти корни из произведения

x_1 \cdot x_2 = q

(подобрать делители свободного члена), а затем проверить по сумме

x_1 + x_2 = -p

Визуализация

Нажимай на кнопки — SVG показывает формулы, пример решения или вывод теоремы.

Алгоритм решения

Пять шагов от уравнения до ответа. Ключевой момент — шаг 3: сначала произведение, потом сумма.

Привести к стандартному виду

Записать в форме

x^2 + px + q = 0

(старший коэффициент = 1)

Выписать коэффициенты

Определить

p

(при

x

) и

q

(свободный член)

Найти корни через ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Главное! Разложить

q

на множители: найти пары чисел, дающих произведение

q

Проверить по СУММЕ

Из найденных пар выбрать ту, которая даёт сумму

-p

Записать ответ

Проверить решение подстановкой в исходное уравнение

Вывод теоремы через разложение

Доказательство в 7 карточках: от идеи до результата.

Идея

Если

x_1

x_2

— корни

(x - x_1)(x - x_2) = 0

Квадратное уравнение раскладывается на линейные множители

Шаг 1

Раскрываем скобки

x^2 - x \cdot x_2 - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2

Правило умножения двучленов

Шаг 2

Группируем

x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0

Выносим

x

за скобки из средних слагаемых

Шаг 3

Сравниваем

x^2 + px + q = 0

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

Шаг 4

Коэффициент при

x

-(x_1 + x_2) = p

x_1 + x_2 = -p

Сумма корней = коэффициенту с противоположным знаком

Шаг 5

Свободный член

x_1 \cdot x_2 = q

Произведение корней = свободному члену

✓
Теорема Виета доказана
x_1 + x_2 = -p
x_1 \cdot x_2 = q
Связь между корнями и коэффициентами установлена

Тренировка

Нажми на карточку, чтобы увидеть решение

базовый

x^2 - 7x + 12 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 12

Делители: (1,12), (2,6), (3,4)
2) Сумма:

x_1 + x_2 = 7

3 + 4 = 7 ✓
Ответ:

x_1=3,\; x_2=4

отрицательные корни

x^2 + 5x + 6 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 6

Пары: (−2,−3)
2) Сумма: (−2)+(−3)=−5 ✓
Ответ:

x_1=-2,\; x_2=-3

разные знаки

x^2 + x - 6 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = -6

Пары: (2,−3), (−2,3)
2) Сумма: 2+(−3)=−1 ✓
Ответ:

x_1=2,\; x_2=-3

кратные корни

x^2 - 4x + 4 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 4

Пара: (2,2)
2) Сумма: 2+2=4 ✓
Ответ:

x_1 = x_2 = 2

неприведённое

2x^2 - 8x + 6 = 0

Делим на 2:

x^2-4x+3=0

1) Произведение:

1 \cdot 3 = 3

✓
2) Сумма: 1+3=4 ✓
Ответ:

x_1=1,\; x_2=3

проверка

x^2 - 3x - 28 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = -28

Пары: (−4,7), (4,−7)
2) Сумма: (−4)+7=3 ✓
Ответ:

x_1=-4,\; x_2=7

большие числа

x^2 - 13x + 42 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 42

Пары: (6,7)
2) Сумма: 6+7=13 ✓
Ответ:

x_1=6,\; x_2=7

составление уравнения

Корни:

x_1=5,\; x_2=-2

Произведение:

q=5 \cdot (-2)=-10

Сумма:

-p=5+(-2)=3

→

p=-3

Уравнение:

x^2-3x-10=0

Обратное применение теоремы

дробные корни

x^2 - \tfrac{5}{2}x + 1 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2=1

Пары: (0.5, 2)
2) Сумма: 0.5+2=2.5 ✓
Ответ:

x_1=0{,}5,\; x_2=2

Обобщённая теорема Виета

Для неприведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 1$ ) формулы Виета принимают вид:

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}

Рекомендация: для упрощения сначала раздели уравнение на $a$ , приведя к стандартному виду $x^2 + px + q = 0$ , а затем используй основной метод: произведение → сумма.

Правило взаимно обратных корней

Быстрый способ решения уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ , когда $|a| = |c|$ .

Если в уравнении $ax^2+bx+c=0$ выполняется $|a|=|c|$ , то корни имеют вид $x_1 = \pm a$ и $x_2 = \pm \frac{1}{a}$ .

x_1 \cdot x_2 = (\pm a) \cdot (\pm \tfrac{1}{a}) = \pm 1

Условия

Формулы корней

Пример

Случай 1

a = c, сумма > 0

x₁ = +a
x₂ = +1/a

оба положительные

2x² − 5x + 2 = 0

|2|=|2| ✓, b=5=4+1 ✓

x₁ = 2, x₂ = 0.5

Случай 2

a = c, сумма < 0

x₁ = −a
x₂ = −1/a

оба отрицательные

3x² + 10x + 3 = 0

|3|=|3| ✓, b=10=9+1 ✓

x₁ = −3, x₂ = −1/3

Случай 3

a = −c, сумма > 0

x₁ = +a
x₂ = −1/a

разные знаки

5x² − 24x − 5 = 0

a=5, c=−5 ✓

x₁ = 5, x₂ = −0.2

Случай 4

a = −c, сумма < 0

x₁ = −a
x₂ = +1/a

разные знаки

4x² + 15x − 4 = 0

a=4, c=−4 ✓

x₁ = −4, x₂ = 0.25

Ключевое свойство: корни всегда имеют вид ±a и ±1/a, где a — коэффициент при x². Знаки определяются по произведению и сумме.

Важно: если хотя бы одно условие не выполнено — используй стандартные методы (дискриминант или теорему Виета).

Нажми на карточку, чтобы увидеть решение

случай 2

3x² + 10x + 3 = 0

|3|=|3| ✓, b=10=9+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: −10/3<0
Ответ: x₁=−3, x₂=−1/3

случай 1

2x² − 5x + 2 = 0

|2|=|2| ✓, b=5=4+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: 5/2>0
Ответ: x₁=2, x₂=0.5

случай 4

4x² + 15x − 4 = 0

a=4, c=−4 ✓, b=15=16−1 ✓
Произв: −1<0, Сумма<0
Ответ: x₁=−4, x₂=0.25

случай 1

6x² − 37x + 6 = 0

|6|=|6| ✓, b=37=36+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: 37/6>0
Ответ: x₁=6, x₂=1/6

случай 2

5x² + 26x + 5 = 0

|5|=|5| ✓, b=26=25+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: −26/5<0
Ответ: x₁=−5, x₂=−0.2

случай 2

8x² + 65x + 8 = 0

|8|=|8| ✓, b=65=64+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: −65/8<0
Ответ: x₁=−8, x₂=−0.125

Визуализация на параболе

Двигай ползунки b и c — парабола перестраивается, корни перемещаются. Видно, как произведение корней = точке пересечения с осью Y.