Окружность Аполлония

Окружность Аполлония: определение и свойства

Пусть фиксированы точки A и B и положительное число k ≠ 1. Геометрическим местом точек P, для которых выполняется равенство AP : PB = k, является окружность. Эта окружность называется окружностью Аполлония.

Ключевая идея

Окружность Аполлония — это множество всех точек P, где отношение расстояний до A и B постоянно: PA/PB = k. При k = 1 ГМТ — не окружность, а серединный перпендикуляр к отрезку AB; при k → 1 окружности «уходят» в этот предельный случай.

Свойства пучка окружностей

• Окружности для k и 1/k симметричны относительно серединного перпендикуляра к AB.
• Для любого k ≠ 1 окружность пересекает прямую AB и разделяет точки A и B.
• Центры окружностей Аполлония лежат на прямой AB и вне отрезка AB.

Связи с биссектрисами

Окружность Аполлония отрезка AB можно построить через внутреннюю и внешнюю биссектрисы: для точки P на окружности лучи PL и PL′ к точкам пересечения окружности с AB являются, соответственно, биссектрисами внутреннего и внешнего углов при P.

Особые случаи

• k = 1: ГМТ — серединный перпендикуляр к AB (не окружность).
• k → ∞ или k → 0: окружности «стягиваются» вблизи соответствующих фокусов, центр уходит по прямой AB.