// логарифмы

Логарифмические неравенства

Пошаговый алгоритм решения на реальной задаче ЕГЭ. Метод интервалов, замена переменной, возврат к x — всё по шагам с раскрывающимися карточками.

~ 12 мин# 2 часть ЕГЭ↩ Пошаговый разбор
#15
2 часть
2 балла
1Разбор задачи ЕГЭ-2025

Нажимай на каждый шаг, чтобы раскрыть подробное решение. Пять шагов — от ограничений до ответа.

Решите неравенство:
$\log_{16}(x + 5) + \log_{(x^2+10x+25)}2 \geq \dfrac{3}{4}$
Основные свойства логарифмов
  • $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$
  • $\log_a \dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$
  • $\log_a b^n = n \log_a b$
  • $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ — замена основания
  • $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ — взаимно обратные
  • a > 1 — знак сохраняется; 0 < a < 1 — знак меняется!
1
Найди ограничения (ОДЗ)

Аргумент: $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$

Основание: $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2 > 0$ и $(x+5)^2 \neq 1$

$x + 5 \neq \pm 1 \Rightarrow x \neq -4,\; x \neq -6$

ОДЗ: $x \in (-5;\, -4) \cup (-4;\, +\infty)$

2
Приведи к одному основанию

Переходим к основанию 2:

$\log_{16}(x+5) = \dfrac{\log_2(x+5)}{4}$

$\log_{(x+5)^2} 2 = \dfrac{1}{2\log_2(x+5)}$

Неравенство принимает вид:

$\dfrac{\log_2(x+5)}{4} + \dfrac{1}{2\log_2(x+5)} \geq \dfrac{3}{4}$

3
Замена и приведение к нулю

Пусть $t = \log_2(x+5)$:

$\dfrac{t}{4} + \dfrac{1}{2t} - \dfrac{3}{4} \geq 0$

Общий знаменатель $4t$:

$\dfrac{t^2 - 3t + 2}{4t} \geq 0$

4
Метод интервалов

Числитель: $t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2) = 0$

Корни: $t_1 = 1,\; t_2 = 2$

Знаменатель: $t = 0$ (выколотая точка)

Расстановка знаков:
− + − +
0 1 2

Решение: $t \in (0;\, 1] \cup [2;\, +\infty)$

5
Вернись к переменной $x$

Из $t \in (0;\, 1]$:

$0 < \log_2(x+5) \leq 1$

$1 < x+5 \leq 2 \Rightarrow -4 < x \leq -3$

Из $t \in [2;\, +\infty)$:

$\log_2(x+5) \geq 2$

$x+5 \geq 4 \Rightarrow x \geq -1$

Итоговый ответ с учётом ОДЗ:
$x \in (-4;\, -3] \cup [-1;\, +\infty)$
2Дополнительные примеры

Три типовых неравенства. Нажми на карточку — увидишь решение.

Пример 1

$\log_2(x-3) \geq \log_2(x+1)$
Нажми, чтобы перевернуть

Решение

ОДЗ: $x > 3$

Основание $2 > 1$, знак сохраняется:

$x - 3 \geq x + 1$ — невозможно!

Ответ: $\varnothing$ (нет решений)

Пример 2

$\log_{0{,}5}(x+2) > \log_{0{,}5} 3$
Нажми, чтобы перевернуть

Решение

ОДЗ: $x > -2$

Основание $0{,}5 < 1$, знак меняется!

$x + 2 < 3 \Rightarrow x < 1$

Ответ: $x \in (-2;\, 1)$

Пример 3

$\log_3(x-2) \geq \log_3 5$
Нажми, чтобы перевернуть

Решение

ОДЗ: $x > 2$

Основание $3 > 1$, знак сохраняется:

$x - 2 \geq 5 \Rightarrow x \geq 7$

Ответ: $x \in [7;\, +\infty)$

// алгоритм

5 шагов решения

ОДЗ → одно основание → замена переменной → метод интервалов → обратная замена. Этот алгоритм работает для любого логарифмического неравенства.

$\dfrac{f(t)}{g(t)} \geq 0$ → метод интервалов
// ключевое правило

Знак неравенства и основание

При основании $a > 1$ знак сохраняется. При $0 < a < 1$ знак меняется на противоположный. Это самая частая ошибка на ЕГЭ.

$a > 1$: знак = тот же
$0 < a < 1$: знак $\Leftrightarrow$ меняется

Что смотреть дальше

# задание 15

Логарифм как счётчик степеней

Интерактивная визуализация: что такое логарифм и переход к другому основанию.

Смотреть →
# задание 15

Преобразования чисел с логарифмами

Число → логарифм и число → степень. 27 флеш-карточек для тренировки.

Смотреть →
# задание 15

Свойства логарифмов

Произведение и частное под логарифмом, упрощение выражений.

Смотреть →

Математика через визуализации

Спринты в минигруппах для учеников. Методика работы с визуализациями для учителей.

Написать в Telegram
Расскажу подробнее о формате
Прокрутить вверх