// задание #4 · вероятность

Определение
вероятности

Классическая вероятность, противоположные события, геометрическая вероятность. Все типы — через одну идею: благоприятных делим на общее число.

4 типа задач
1 балл
~2 мин решения
#4
1 часть
1 балл
главная идея

Благоприятных делим на общее

Все задачи задания #4 сводятся к одной формуле. Разница — только в том, как подсчитать \(m\) и \(n\).

\[ P(A) = \dfrac{m}{n} \]
где \(m\) — благоприятные исходы, \(n\) — все исходы

Четыре типа задач

задание #4

Все задачи раскладываются на 4 шаблона. Определи тип по условию — дальше алгоритм.

1

Классическая вероятность

Пример. В фирме такси 15 машин: 2 красные, 9 жёлтых, 4 зелёные. Найти \(P(\text{жёлтая})\).
Идея. Напрямую считаем \(n\) и \(m\), подставляем в формулу.
// шаг 1

Посчитай «всего»

Все машины: \(2 + 9 + 4 = 15\). Это \(n\).

// шаг 2

Посчитай «подходит»

Жёлтых: \(9\). Это \(m\).

// шаг 3

Раздели

\(P = \dfrac{9}{15} = 0{,}6\). Ответ: \(0{,}6\).

2

Противоположное событие

Пример. Фабрика выпускает сумки. 8 из 100 с дефектом. Найти \(P(\text{без дефекта})\).
Идея. Проще посчитать «плохое» и вычесть из единицы: \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \] Используется, когда в условии есть слова «не», «хотя бы один», «не менее».
// шаг 1

Найди вероятность «плохого»

Дефект: \(P(A) = \dfrac{8}{100} = 0{,}08\).

// шаг 2

Вычти из единицы

\(P(\overline{A}) = 1 - 0{,}08 = 0{,}92\).

Ловушка. «Хотя бы одна» = \(1 - P(\text{ни одной})\). Не считайте все варианты напрямую — через дополнение всегда быстрее.
3

По таблице или данным

Пример. На олимпиаде 400 участников. В 1-й аудитории — 120, во 2-й — 120, остальные в 3-й. Найти \(P(\text{3-я аудитория})\).
Идея. Числа не даны напрямую — их нужно извлечь из условия. Слово «остальные» = «всё минус названное».
// шаг 1

Извлеки числа

Всего: \(400\). В 3-й: \(400 - 120 - 120 = 160\).

// шаг 2

Подставь в формулу

\(P = \dfrac{160}{400} = 0{,}4\).

Ловушка. Невнимательное чтение. «Остальные» — всегда разность. Не путайте «всего» и «в каждой группе».
4

Геометрическая вероятность

Пример. На отрезке \([0; 10]\) случайно выбрана точка. Найти \(P(\text{точка попадёт в } [3; 7])\).
Идея. Когда исходов бесконечно много, считаем не штуки, а длины или площади: \[ P = \dfrac{\text{длина благоприятного участка}}{\text{длина всего отрезка}} \] Аналогично для площадей: \(P = \dfrac{S_{\text{благ}}}{S_{\text{всего}}}\).
// шаг 1

Длина «всего»

\([0; 10]\) → длина \(= 10\).

// шаг 2

Длина «подходит»

\([3; 7]\) → длина \(= 4\).

// шаг 3

Раздели

\(P = \dfrac{4}{10} = 0{,}4\).

Встречается реже. На ЕГЭ #4 тип №4 попадается редко, чаще — в задачах углублённого уровня. Но знать формулу стоит.

Когда подсчёт сложный: комбинаторика

вспомогательно

Если благоприятные и общие исходы нельзя посчитать глазами (например, «все способы выбрать 3 человек из 15») — нужны формулы комбинаторики. Она — не отдельная тема, а инструмент для задач #4 и #5.

Главный вопрос. Перед тем как применить формулу, спроси себя:
• «ИЛИ» (одно из нескольких несовместных) → складываем.
• «И» (несколько действий подряд) → умножаем.

Два правила подсчёта

Правило суммы (ИЛИ)

Выбираем один объект из нескольких непересекающихся групп.

\( m + n \)
Пример. 5 яблок и 3 груши. Взять один фрукт: \(5 + 3 = 8\) способов.

Правило произведения (И)

Делаем несколько независимых действий подряд.

\( m \cdot n \cdot \ldots \cdot k \)
Пример. 3 супа и 4 вторых. Собрать обед: \(3 \cdot 4 = 12\) способов.

Три формулы подсчёта наборов

Какую формулу выбрать? Два вопроса: берём все элементы или часть? Порядок важен?

Перестановки

Берём все \(n\) элементов и меняем их порядок.

\( P_n = n! \)
Пример. Расставить 5 книг на полке: \(5! = 120\).

Размещения

Берём \(k\) из \(n\). Порядок важен.

\( A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} \)
Пример. Золото, серебро, бронза из 16 команд: \(A_{16}^3 = 16 \cdot 15 \cdot 14 = 3360\).

Сочетания

Берём \(k\) из \(n\). Порядок не важен.

\( C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \)
Пример. Выбрать 3 книги из 10: \(C_{10}^3 = 120\).

Что дальше

задание #5 · следующий шаг

Теоремы о вероятностях

Сложение, умножение, полная вероятность, формула Бернулли. Когда одного определения уже мало.
инструмент

Комбинаторика подробно

Все формулы с выводами, задачи на перестановки, размещения и сочетания.
каталог

Все задания ЕГЭ

Полная карта 19 заданий: от первой части до параметров и чисел.

Задания #4 и #5 за один урок

Разберём все типы на реальных задачах ЕГЭ. Покажу, как не тратить на теорию вероятностей на ЕГЭ больше пяти минут и не ошибаться в ловушках.

Записаться на урок
Первый урок — бесплатно, без обязательств
Прокрутить вверх