Квадратные трёхчлены и параметры

Сколько решений может иметь квадратный трёхчлен?

Рассматривается трёхчлен \(a x^{2} + b x + c\), где коэффициенты могут зависеть от параметров.

  • Если \(a \ne 0\), то это квадратный трёхчлен, уравнение \(a x^{2} + b x + c = 0\) исследуется по дискриминанту \(D = b^{2} - 4ac\).
  • Если \(a = 0\), трёхчлен вырождается в линейный: \(b x + c\). Тогда:
    • если \(b \ne 0\), уравнение имеет единственное решение;
    • если \(b = 0\) и \(c \ne 0\), решений нет (противоречие);
    • если \(b = 0\) и \(c = 0\), любое \(x\) является решением (тождество).

Для квадратного уравнения \(a x^{2} + b x + c = 0\), \(a \ne 0\):
при \(D > 0\) — два различных корня; при \(D = 0\) — один корень; при \(D < 0\) — действительных корней нет.

Теорема Виета для квадратного уравнения

Пусть \(a x^{2} + b x + c = 0\) имеет корни \(x_{1}\) и \(x_{2}\) и \(a \ne 0\). Тогда верны соотношения:

  • \(x_{1} + x_{2} = -\dfrac{b}{a}\),
  • \(x_{1} x_{2} = \dfrac{c}{a}\).

Помни: в задачах с параметрами часто известно что‑то о сумме или произведении корней. Тогда удобно не выписывать корни через дискриминант, а сразу использовать теорему Виета для получения уравнений на параметр.

Квадратные неравенства с параметром

Для неравенств вида \(a x^{2} + b x + c \,\#\, 0\) (\(\#\) — знак >, ≥, <, ≤) алгоритм такой же:

  • определить, вырождается ли выражение в линейное (при некоторых параметрах \(a = 0\));
  • для квадратного случая найти дискриминант и корни; по знаку коэффициента \(a\) определить, где парабола выше/ниже оси;
  • учитывать дополнительные условия на параметр, которые появляются из требований вида «неравенство выполняется при всех \(x\)».

Обрати внимание: в задачах часто сравниваются множества решений двух неравенств — одно является следствием другого или неравенства равносильны. Тогда анализируется положение лучей или интервалов, заданных корнями соответствующих квадратных трёхчленов.

Карточки с задачами

Нажмите на карточку, чтобы перевернуть её и увидеть решение

Пример 1
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(x^{2} + 2x + a = 0\) не имеет корней.
Уравнение не имеет действительных корней, если дискриминант отрицателен.

\(D = 4 - 4a\). Требуем \(D < 0\): \(4 - 4a < 0 \Rightarrow a > 1\).

Ответ: \(a > 1\).
Пример 2
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых уравнение \(a x^{2} + 4x + 2 = 0\) имеет два различных корня.
1) Условие квадратности: \(a \ne 0\).
2) \(D = 16 - 8a\). Требуем \(D > 0\): \(a < 2\).

Ответ: \(a \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)\).
Пример 3
При каких \(a\) уравнение \(a(a+3)x^{2} + (2a+6)x - 3a - 9 = 0\) имеет более одного корня?
Более одного корня: квадратное с \(D > 0\) или тождество.

После анализа вырождения и вычисления дискриминанта:

Ответ: \(a \in (-\infty; -3) \cup (0; +\infty)\).
Пример 4
При каких \(a\) система \(\begin{cases}x^{2} + y^{2} = 2a,\\ xy = a - \dfrac{1}{2}\end{cases}\) имеет ровно два решения?
Пусть \(S = x+y\), \(P = xy\). Из системы: \(S^{2} = 4a - 1\).
Условие \(S^{2} - 4P > 0\) при \(P = a - \tfrac{1}{2}\) даёт \(a = \tfrac{1}{2}\).

Ответ: \(a = \dfrac{1}{2}\).
Пример 5
При всех значениях \(a\) решите уравнение \(x^{2} + 2ax - 1 = 0\).
\(D = 4a^{2} + 4 > 0\) при любых \(a\), значит всегда два корня:

\(x = -a \pm \sqrt{a^{2}+1}\)

Ответ: \(x_{1,2} = -a \pm \sqrt{a^{2}+1}\).
Пример 6
При каком целом \(k\) один из корней \(4x^{2} - (3k + 2)x + k^{2} - 1 = 0\) втрое меньше другого?
Пусть корни \(x_{1}\) и \(3x_{1}\). По теореме Виета: \(x_{1} = \tfrac{3k+2}{16}\), затем из произведения получаем \((k-4)^{2} = 0\).

Ответ: \(k = 4\).
Прокрутить вверх