✎Хочу разобраться

Производная на графике?

Покажем на пальцах за 1 урок:

▶Готовишься к ЕГЭ?Задания 8 и 12 — за одно занятие.→ ★Преподаёте?Интерактивные визуализации для урока.→

// задание 8 · производная

Производная и её график

Касательная, знак производной, экстремумы, первообразная. Три визуализации, которые показывают связь между функцией и производной.

3 визуализации

6 типов задач

1 балл

1 часть

1 балл

Визуализации

интерактив

Двигай точку по графику — смотри, как меняется производная. Всё в реальном времени.

Касательная f(x) ↔ f′(x) Первообразная

$x_0$

$f(x_0)$

$f'(x_0)$

$\Delta y / \Delta x$

0/1

Двигай точку мышкой или пальцем. Красная прямая — касательная. Треугольник показывает $\Delta y$ и $\Delta x$.

Геометрический смысл: $f'(x_0) = \tan\alpha = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ — наклон касательной к графику в точке $x_0$. Положительная — функция растёт, отрицательная — убывает, ноль — горизонтальная касательная (экстремум).

Ловушка ЕГЭ: не путай «дан график $f(x)$» и «дан график $f'(x)$». Здесь видно $f(x)$, а $f'(x_0)$ — это наклон касательной.

$x$

$f(x)$

$f'(x)$

Сверху $f(x)$, снизу $f'(x)$. Синие участки — функция растёт ($f'>0$), красные — убывает ($f'<0$).

Связь графиков: Где $f'(x) > 0$ — $f(x)$ возрастает. Где $f'(x) < 0$ — $f(x)$ убывает. Где $f'(x) = 0$ и меняет знак — экстремум $f(x)$.

Ловушка ЕГЭ: «Найти наибольшее значение $f(x)$ на $[a;b]$» по графику $f'(x)$ — нужно найти, где $f'$ меняет знак с + на −, и проверить концы отрезка.

$x$

$f(x)$

$F(x)$

Сверху $F(x)$ (первообразная), снизу $f(x)$. Зелёная заливка = площадь под $f(x)$ от начала до $x$. Это и есть $F(x)$.

Площадь под графиком: $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ — это площадь под графиком $f$ от 0 до $x$. Если $f(x) > 0$ — площадь растёт, $F$ растёт. Если $f(x) < 0$ — площадь «убывает» (идёт ниже оси), $F$ убывает. Экстремумы $F$ — там, где $f(x) = 0$.

Ловушка ЕГЭ: «Дан график $F(x)$, найти количество нулей $f(x)$» = количество экстремумов $F(x)$ (точек, где касательная горизонтальна).

Алгоритм решения

задание 8

Первый шаг — определить, какой график перед тобой. Дальше действуй по ветке.

// ШАГ 0

Определи: что за график?

Читай подпись под графиком. Три варианта: $y = f(x)$ (функция), $y = f'(x)$ (производная), $y = F(x)$ (первообразная). От этого зависит всё.

ВЕТКА A

Дан график $f(x)$

1. «Найти $f'(x_0)$» → провести касательную в точке $x_0$, взять две точки на ней, вычислить $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
2. «Сколько точек $f'(x) = 0$» → посчитать экстремумы (горбы и впадины).
3. «Где $f'(x) > 0$» → найти промежутки возрастания $f(x)$ (функция идёт вверх).
4. «Где $f'(x) < 0$» → промежутки убывания (функция идёт вниз).
5. «В какой точке $f'$ наибольшая/наименьшая» → найти самый крутой подъём / спуск.

ВЕТКА B

Дан график $f'(x)$

1. Экстремумы $f(x)$ → там, где $f'(x) = 0$ и меняет знак.
2. Максимум $f$ → $f'$ переходит из $+$ в $-$ (пересекает ось сверху вниз).
3. Минимум $f$ → $f'$ переходит из $-$ в $+$ (пересекает ось снизу вверх).
4. «Наибольшее значение $f$ на $[a;b]$» → сравнить значения $f$ в экстремумах и на концах отрезка.
5. «Промежутки возрастания» → где $f'(x) > 0$ (график производной выше оси $x$).

ВЕТКА C

Дан график $F(x)$ (первообразная)

Помни: $F'(x) = f(x)$. То есть $f(x)$ — это наклон графика $F(x)$.
1. «Сколько нулей у $f(x)$» → сколько экстремумов у $F(x)$ (горизонтальная касательная).
2. «Где $f(x) > 0$» → где $F(x)$ возрастает.
3. «Найти $f(x_0)$» → провести касательную к $F$ в $x_0$, вычислить $\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
4. «Площадь фигуры» → $S = |F(b) - F(a)|$ — площадь под графиком $f$ от $a$ до $b$.

Главная ловушка: перепутать, чей график дан. Если написано $y = f'(x)$ — это производная, а не сама функция. Максимум на графике $f'$ НЕ означает максимум $f$. Максимум $f$ — там, где $f'$ переходит через ноль из + в −.

Смежные темы

#6Простейшие уравненияКасательная к графику приводит к уравнению прямой. #10Текстовые задачиФизический смысл производной = скорость из задач на движение. #13ТригонометрияПроизводная $\sin$ и $\cos$ — часто в задании 8. #15ЛогарифмыПроизводная $\ln x$ — для касательных к логарифмическим графикам. КаталогВсе задания ЕГЭ19 заданий профильной математики.

Производная за 2 урока

Все 6 типов задания 8 на реальных графиках ЕГЭ. Доведём до автоматизма.

Написать в Telegram