✎Хочу разобраться

Уравнения не даются?

Разберём каждый тип на уроке:

▶Готовишься к ЕГЭ?Разберём все 6 типов за 2 занятия.→ ★Преподаёте?Алгоритмы и карточки для урока.→

// задание 6 · уравнения

Простейшие уравнения

Все типы уравнений задания 6 ЕГЭ профиль с алгоритмами решения. Классификация, формулы, типичные ловушки.

6 типов

1 балл

~2 мин

95% решаемость

1 часть

1 балл

Классификация уравнений

6 типов

Задание 6 проверяет умение решать уравнения. Может выпасть любой тип. Алгоритм к каждому — ниже.

Все типы Линейные и квадратные Рациональные Иррациональные Показательные Логарифмические Тригонометрические

Линейные и квадратные уравнения

Пример: $\;\dfrac{13}{11}\,x = -\dfrac{25}{22}$ или $2x^2 - 5x + 3 = 0$

Квадратное: $ax^2 + bx + c = 0$ → $D = b^2 - 4ac$ → $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
Теорема Виета: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$

// шаг 1

Привести к стандартному виду

Раскрыть скобки, перенести всё в одну сторону. Для дробных коэффициентов — перевести в неправильные дроби.

// шаг 2

Найти дискриминант

$D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$ — корней нет. Если $D = 0$ — один корень.

// шаг 3

Вычислить корни

Подставить в формулу. Проверить: если просят «меньший» или «больший» — выбрать нужный.

Ловушка: смешанные дроби ($2\tfrac{8}{9}$). Сначала переведи в неправильную дробь, потом решай.

Рациональные (дробно-рациональные)

Пример: $\;\dfrac{2x-1}{3+x} = x - 3$

// шаг 1

Найти ОДЗ

Знаменатель $\neq 0$. Выписать все значения $x$, при которых знаменатели обращаются в ноль.

// шаг 2

Привести к общему знаменателю

Умножить обе части на общий знаменатель. Получить уравнение без дробей.

// шаг 3

Решить и проверить по ОДЗ

Решить полученное уравнение (обычно квадратное). Отбросить корни, не входящие в ОДЗ.

Ловушка: один из корней квадратного уравнения обнуляет знаменатель. Всегда проверяй по ОДЗ.

Иррациональные (с корнями)

Пример: $\;\sqrt{2x+37} = 7$ или $\sqrt{6-5x} = -x$

$\sqrt{f(x)} = g(x)$ ⇔ $\begin{cases} f(x) = [g(x)]^2 \\ g(x) \geq 0 \end{cases}$ Для $\sqrt[3]{\phantom{x}}$ — просто возводим в куб (ОДЗ не нужна).

// шаг 1

Изолировать корень

Перенести всё, кроме корня, в одну сторону. Корень должен остаться один в одной части.

// шаг 2

Возвести в квадрат

Обе части уравнения возводим в квадрат. Обязательно записать условие: правая часть $\geq 0$.

// шаг 3

Решить и отсеять

Решить полученное уравнение. Проверить каждый корень: подставить в исходное. Посторонние — отбросить.

Ловушка: при возведении в квадрат появляются посторонние корни. Обязательна проверка подстановкой.

Показательные

Пример: $\;3^{2x-1} = 27$

Главная идея: неизвестная — в показателе степени. Чтобы до неё добраться, нужно сделать основания одинаковыми. Тогда степени можно просто приравнять.

Шпаргалка разложений: $4 = 2^2$ $8 = 2^3$ $27 = 3^3$ $25 = 5^2$ $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ $0{,}5 = 2^{-1}$ $0{,}01 = 10^{-2}$

// шаг 1

Посмотри на числа — это степени чего?

$27$ — это $3^3$. Значит уравнение: $3^{2x-1} = 3^3$. Теперь основания совпали!

// шаг 2

Основания равны → приравняй показатели

$3^{2x-1} = 3^3$ ⇒ верхушки равны: $2x - 1 = 3$. Это обычное линейное уравнение.

// шаг 3

Реши линейное уравнение

$2x - 1 = 3$ ⇒ $2x = 4$ ⇒ $x = 2$. Готово.

Разбор посложнее: $\;5^{x} = 25^{x-1}$
Шаг 1: $25 = 5^2$, значит $25^{x-1} = 5^{2(x-1)} = 5^{2x-2}$
Шаг 2: $5^x = 5^{2x - 2}$ ⇒ $x = 2x - 2$
Шаг 3: $x - 2x = -2$ ⇒ $-x = -2$ ⇒ $x = 2$

Ловушка: $25^{x-1}$ — это НЕ $5^{2x - 1}$, а $5^{2(x-1)} = 5^{2x - 2}$. Скобки! Показатель умножается на весь показатель, а не только на $x$.

Логарифмические

Пример: $\;\log_{\frac{1}{2}}(7 + 2x) = -6$

Главная идея: логарифм — это вопрос «в какую степень возвести основание, чтобы получить аргумент?».
$\log_a b = c$ означает: $a^c = b$. Так и решаем — переходим от логарифма к степени.

Пример: $\log_3 x = 4$ ⇒ «$3$ в какой степени даёт $x$?» ⇒ $x = 3^4 = 81$

// шаг 1

Запиши ОДЗ: что под логарифмом > 0

$\log_{\frac{1}{2}}(7 + 2x) = -6$. Под логарифмом: $7 + 2x > 0$, то есть $x > -3{,}5$. Запомнили.

// шаг 2

Перейди от логарифма к степени

$\log_{\frac{1}{2}}(7 + 2x) = -6$ ⇒ по определению: $7 + 2x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} = 2^6 = 64$

// шаг 3

Реши обычное уравнение

$7 + 2x = 64$ ⇒ $2x = 57$ ⇒ $x = 28{,}5$. Проверяем: $28{,}5 > -3{,}5$ — подходит.

Если логарифмы с двух сторон: $\;\log_3(6-3x) = \log_3(-5-x) + 2$
Шаг 1: ОДЗ: $6 - 3x > 0$ и $-5 - x > 0$ ⇒ $x < 2$ и $x < -5$ ⇒ $x < -5$
Шаг 2: число $2$ перевести в логарифм: $2 = \log_3 9$. Тогда правая часть: $\log_3[(-5-x) \cdot 9]$
Шаг 3: $\log_3(6 - 3x) = \log_3(9(-5 - x))$ ⇒ убираем логарифмы: $6 - 3x = -45 - 9x$
Шаг 4: $6x = -51$ ⇒ $x = -8{,}5$. Проверяем: $-8{,}5 < -5$ — подходит.

Ловушка: забыть ОДЗ. Например, если получишь $x = 0$, но под логарифмом стоит $(-5 - x)$ — получается $-5 < 0$. Логарифм от отрицательного числа не существует, корень посторонний.

Тригонометрические

Пример: $\;\cos\dfrac{\pi(x+1)}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (найти наибольший отрицательный корень)

Главная идея: уравнение с $\sin$ или $\cos$ имеет бесконечно много корней (функция периодическая). Поэтому записываем общую формулу, а потом подбираем нужный корень числами.

Табличные значения (выучить):
$\cos 0 = 1$ $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ $\cos\frac{\pi}{2} = 0$

// шаг 1 — обозначить аргумент

Введи букву для того, что стоит внутри $\cos$

Пусть $t = \dfrac{\pi(x+1)}{4}$. Тогда уравнение стало простым: $\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

// шаг 2 — вспомнить табличный угол

Какой угол даёт $\frac{\sqrt{2}}{2}$?

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значит $t = \frac{\pi}{4}$. Но $\cos$ — чётная функция, поэтому $t = -\frac{\pi}{4}$ тоже подходит. А ещё прибавляем полный оборот $2\pi n$ к каждому.

// шаг 3 — записать все решения для $t$

Общая формула

$t = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $t = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число (0, 1, -1, 2, ...)

// шаг 4 — вернуться к $x$

Подставить $t$ обратно и выразить $x$

$\frac{\pi(x+1)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ ⇒ $x + 1 = 1 + 8n$ ⇒ $x = 8n$
$\frac{\pi(x+1)}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$ ⇒ $x + 1 = -1 + 8n$ ⇒ $x = -2 + 8n$

// шаг 5 — подобрать нужный корень

Подставляем $n = 0, -1, 1, \ldots$ и ищем наибольший отрицательный

Серия 1: $x = 8n$ → при $n = 0$: $x = 0$, при $n = -1$: $x = -8$
Серия 2: $x = -2 + 8n$ → при $n = 0$: $x = -2$, при $n = 1$: $x = 6$
Отрицательные: $-2$ и $-8$. Наибольший из них: $x = -2$. Ответ: $-2$

Ловушка 1: решать в уме, без записи серий. Потеряешь одну из двух серий решений и получишь неверный ответ.

Ловушка 2: забыть, что у $\cos t = a$ две серии ($+$ и $-$), а у $\sin t = a$ формула другая: $t = (-1)^n \arcsin a + \pi n$.

Все 6 типов за 2 урока

Разберём каждый алгоритм на реальных задачах ЕГЭ. Первый урок бесплатно.

Написать в Telegram