Преобразования чисел с логарифмами
Любое число можно представить как логарифм или как степень с логарифмом в показателе. Два способа — пошагово на карточках, потом 27 задач для тренировки.
Нажми на карточку, чтобы перевернуть и увидеть пояснение к каждому шагу.
Выбираем число 8 — наша исходная точка.
Умножаем на $1$, суть числа не меняется.
Записываем $1$ как логарифм:
$\log_3 3 = 1$
Свойство:
$n \cdot \log_a a = \log_a a^n$
Число превратилось в логарифм!
Число 20, хотим выразить как $5$ в степени.
Любое $b$ можно получить как степень $a$, если показатель равен $\log_a b$.
20 — это $5$ в степени $\log_5 20$.
Основание совпадает в степени и в логарифме.
Нажми на карточку — увидишь решение. Доведи до автоматизма: число → логарифм, число → степень.
$5 = 5 \cdot \log_2 2 = \log_2 2^5 = \log_2 32$
$3 = 7^{\log_7 3}$
$a^{\log_a b} = b$
$8 = \log_3 3^8 = \log_3 6561$
$20 = 5^{\log_5 20}$
$n \cdot \log_a a = \log_a a^n$
Где $\log_a a = 1$
$15 = 3^{\log_3 15}$
$7 = \log_2 2^7 = \log_2 128$
$10^{\log_{10} 50} = 50$
$4 = \log_5 5^4 = \log_5 625$
$12 = 2^{\log_2 12}$
$6 = \log_3 3^6 = \log_3 729$
$e^{\ln 25} = 25$
$\ln = \log_e$
$9 = \lg 10^9$
$2 = 6^{\log_6 2}$
$10 = \log_2 2^{10} = \log_2 1024$
$100 = 10^{\lg 100} = 10^2$
$11 = \log_5 5^{11}$
$3^{\log_3 17} = 17$
$13 = e^{\ln 13}$
$1 = \log_7 7$
$\log_a a = 1$
$\dfrac{1}{2} = \log_4 4^{1/2} = \log_4 2$
$25 = 5^{\log_5 25} = 5^2$
$0{,}5 = \log_2 2^{1/2} = \log_2 \sqrt{2}$
$2^{\log_2 99} = 99$
$\sqrt{5} = 5^{1/2}$
$16 = \log_2 2^{16} = \log_2 65536$
$5^{\log_5 x} = x$
Универсальное: $a^{\log_a b} = b$
Число → Логарифм
Умножаем число на $\log_a a = 1$, затем вносим множитель в показатель аргумента. Получаем логарифм с нужным основанием.
Число → Степень
Любое число можно записать как степень произвольного основания $a$, если показатель — логарифм этого числа по основанию $a$.
Что смотреть дальше
Математика через визуализации
Спринты в минигруппах для учеников. Методика работы с визуализациями для учителей.
Написать в Telegram