// уравнения · теорема + тренировка

Теорема
Виета

Связь между корнями и коэффициентами уравнения. Алгоритм: сначала произведение, потом сумма — и никакого дискриминанта. А в конце — откуда эта связь берётся и как она выглядит для кубических уравнений.

5 шагов алгоритма

15 карточек

2 интерактива

Суть теоремы

Теорема Виета связывает коэффициенты приведённого квадратного уравнения

x^2 + px + q = 0

с его корнями:

x_1 + x_2 = -p

x_1 \cdot x_2 = q

Практический совет: при решении проще сначала найти корни из произведения

x_1 \cdot x_2 = q

(подобрать делители свободного члена), а затем проверить по сумме

x_1 + x_2 = -p

Когда это работает быстрее дискриминанта: если корни целые и небольшие. Если подбор не идёт за 10 секунд — считай дискриминант, это не поражение.

Алгоритм решения

Пять шагов от уравнения до ответа. Ключевой момент — шаг 3: сначала произведение, потом сумма.

Привести к стандартному виду

Записать в форме

x^2 + px + q = 0

(старший коэффициент = 1)

Выписать коэффициенты

Определить

p

(при

x

) и

q

(свободный член)

Найти корни через ПРОИЗВЕДЕНИЕ

Главное! Разложить

q

на множители: найти пары чисел, дающих произведение

q

Проверить по СУММЕ

Из найденных пар выбрать ту, которая даёт сумму

-p

Записать ответ

Проверить решение подстановкой в исходное уравнение

Разбор примера

Одно уравнение, два шага. Нажимай кнопки — появляются формулы и ход подбора.

Тренировка

Нажми на карточку, чтобы увидеть решение

базовый

x^2 - 7x + 12 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 12

Делители: (1,12), (2,6), (3,4)
2) Сумма:

x_1 + x_2 = 7

3 + 4 = 7 ✓
Ответ:

x_1=3,\; x_2=4

отрицательные корни

x^2 + 5x + 6 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 6

Пары: (−2,−3)
2) Сумма: (−2)+(−3)=−5 ✓
Ответ:

x_1=-2,\; x_2=-3

разные знаки

x^2 + x - 6 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = -6

Пары: (2,−3), (−2,3)
2) Сумма: 2+(−3)=−1 ✓
Ответ:

x_1=2,\; x_2=-3

кратные корни

x^2 - 4x + 4 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 4

Пара: (2,2)
2) Сумма: 2+2=4 ✓
Ответ:

x_1 = x_2 = 2

неприведённое

2x^2 - 8x + 6 = 0

Делим на 2:

x^2-4x+3=0

1) Произведение:

1 \cdot 3 = 3

✓
2) Сумма: 1+3=4 ✓
Ответ:

x_1=1,\; x_2=3

проверка

x^2 - 3x - 28 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = -28

Пары: (−4,7), (4,−7)
2) Сумма: (−4)+7=3 ✓
Ответ:

x_1=-4,\; x_2=7

большие числа

x^2 - 13x + 42 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2 = 42

Пары: (6,7)
2) Сумма: 6+7=13 ✓
Ответ:

x_1=6,\; x_2=7

составление уравнения

Корни:

x_1=5,\; x_2=-2

Произведение:

q=5 \cdot (-2)=-10

Сумма:

-p=5+(-2)=3

→

p=-3

Уравнение:

x^2-3x-10=0

Обратное применение теоремы

дробные корни

x^2 - \tfrac{5}{2}x + 1 = 0

1) Произведение:

x_1 \cdot x_2=1

Пары: (0.5, 2)
2) Сумма: 0.5+2=2.5 ✓
Ответ:

x_1=0{,}5,\; x_2=2

Что это значит на графике

Двигай ползунки $b$ и $c$ — парабола перестраивается, корни перемещаются. Видно, что произведение корней равно точке пересечения с осью Y, а их полусумма — ось симметрии.

Теорема Виета на графике

● Корни x₁ и x₂ ● Точка c (пересечение с Y) ━ Ось симметрии ━ Парабола

Корень x₁

Корень x₂

Сумма −b = x₁+x₂

Произв. c = x₁·x₂

Коэффициент b = -4

Коэффициент c = 3

y = x² − 4x + 3

c = x₁ · x₂ = 3

−b = x₁ + x₂ = 4

Почему это работаетстепени 2–4

Здесь формулы не даются готовыми, а собираются на глазах: задайте корни, раскройте скобки и посмотрите, что окажется при каждой степени $x$ . Корни можно перетаскивать прямо по оси.

Уровень

На базовом уровне конструктор работает с квадратным уравнением. Продвинутый открывает степени 3 и 4, а ниже добавит взаимно обратные корни, симметрические выражения и Виета для кубического уравнения.

Степень

Корни

Показывать

Перетаскивайте оранжевые точки по оси — корни меняются, всё пересчитывается

Тот же вывод — в тетрадь

Семь карточек для квадратного уравнения: короткая запись того, что происходило в конструкторе. Удобно переписать и выучить.

Идея

Если

x_1

x_2

— корни

(x - x_1)(x - x_2) = 0

По теореме Безу многочлен делится на каждую скобку без остатка

Шаг 1

Раскрываем скобки

x^2 - x \cdot x_2 - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2

Из каждой скобки берём либо

x

, либо минус корень

Шаг 2

Группируем

x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0

Выносим

x

за скобки из средних слагаемых

Шаг 3

Сравниваем

x^2 + px + q = 0

Один и тот же многочлен, значит коэффициенты при одинаковых степенях равны

Шаг 4

Коэффициент при

x

-(x_1 + x_2) = p

x_1 + x_2 = -p

Сумма корней = коэффициенту с противоположным знаком

Шаг 5

Свободный член

x_1 \cdot x_2 = q

Произведение корней = свободному члену

Итог
Теорема Виета доказана
x_1 + x_2 = -p
x_1 \cdot x_2 = q
Связь между корнями и коэффициентами установлена

Если старший коэффициент не единица

Для неприведённого квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (где $a \neq 1$ ) формулы Виета принимают вид:

x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}

x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}

Рекомендация: для упрощения сначала раздели уравнение на $a$ , приведя к стандартному виду $x^2 + px + q = 0$ , а затем используй основной метод: произведение → сумма.

Приём: взаимно обратные корнипродвинутый

Быстрый способ решения уравнений вида $ax^2 + bx + c = 0$ , когда $|a| = |c|$ .

Если в уравнении $ax^2+bx+c=0$ выполняется $|a|=|c|$ , то корни имеют вид $x_1 = \pm a$ и $x_2 = \pm \frac{1}{a}$ .

x_1 \cdot x_2 = (\pm a) \cdot (\pm \tfrac{1}{a}) = \pm 1

Как пользоваться

Проверить: модули крайних коэффициентов совпадают.
Проверить средний: $|b| = a^2 + 1$ (при $a=c$ ) или $|b| = a^2 - 1$ (при $a=-c$ ).
Знаки расставить по произведению и сумме — как в таблице ниже.

Условия

Формулы корней

Пример

Случай 1

a = c, сумма > 0

x₁ = +a
x₂ = +1/a

оба положительные

2x² − 5x + 2 = 0

|2|=|2| ✓, b=5=4+1 ✓

x₁ = 2, x₂ = 0.5

Случай 2

a = c, сумма < 0

x₁ = −a
x₂ = −1/a

оба отрицательные

3x² + 10x + 3 = 0

|3|=|3| ✓, b=10=9+1 ✓

x₁ = −3, x₂ = −1/3

Случай 3

a = −c, сумма > 0

x₁ = +a
x₂ = −1/a

разные знаки

5x² − 24x − 5 = 0

a=5, c=−5 ✓

x₁ = 5, x₂ = −0.2

Случай 4

a = −c, сумма < 0

x₁ = −a
x₂ = +1/a

разные знаки

4x² + 15x − 4 = 0

a=4, c=−4 ✓

x₁ = −4, x₂ = 0.25

Ключевое свойство: корни всегда имеют вид ±a и ±1/a, где a — коэффициент при x². Знаки определяются по произведению и сумме.

Важно: если хотя бы одно условие не выполнено — используй стандартные методы (дискриминант или теорему Виета).

Нажми на карточку, чтобы увидеть решение

случай 2

3x² + 10x + 3 = 0

|3|=|3| ✓, b=10=9+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: −10/3<0
Ответ: x₁=−3, x₂=−1/3

случай 1

2x² − 5x + 2 = 0

|2|=|2| ✓, b=5=4+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: 5/2>0
Ответ: x₁=2, x₂=0.5

случай 4

4x² + 15x − 4 = 0

a=4, c=−4 ✓, b=15=16−1 ✓
Произв: −1<0, Сумма<0
Ответ: x₁=−4, x₂=0.25

случай 1

6x² − 37x + 6 = 0

|6|=|6| ✓, b=37=36+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: 37/6>0
Ответ: x₁=6, x₂=1/6

случай 2

5x² + 26x + 5 = 0

|5|=|5| ✓, b=26=25+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: −26/5<0
Ответ: x₁=−5, x₂=−0.2

случай 2

8x² + 65x + 8 = 0

|8|=|8| ✓, b=65=64+1 ✓
Произв: 1>0, Сумма: −65/8<0
Ответ: x₁=−8, x₂=−0.125

Симметрические выраженияпродвинутый

Любимый ход составителей: корни не просят найти, а спрашивают значение выражения от них. Всё сводится к сумме и произведению, то есть к $p$ и $q$ . Проверка на уравнении $x^2-5x+6=0$ с корнями 2 и 3.

сумма квадратов

x_1^2+x_2^2=p^2-2q

Из

(x_1+x_2)^2=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2

. Проверка:

25-12=13=4+9

сумма обратных

\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=-\dfrac{p}{q}

Общий знаменатель даёт

\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}

. Проверка:

\frac{5}{6}=\frac12+\frac13

квадрат разности

(x_1-x_2)^2=p^2-4q

Это ровно дискриминант. Проверка:

25-24=1=(3-2)^2

сумма кубов

x_1^3+x_2^3=-p^3+3pq

Из

s^3-3\cdot s\cdot q

, где

s=-p

. Проверка:

125-90=35=8+27

Общий рецепт: выразить требуемое через $s=x_1+x_2$ и $t=x_1x_2$ , потом подставить $s=-p$ , $t=q$ . Корни искать не нужно, и ответ получается даже при отрицательном дискриминанте.

Виет для кубического уравненияпродвинутый

Ровно то, что собирает конструктор выше при степени 3: три равенства вместо двух, знаки чередуются.

Для уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1, x_2, x_3$ :

x_1+x_2+x_3=-a

x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=b

x_1x_2x_3=-c

Проверка на примере $x^3-6x^2+11x-6=0$ с корнями 1, 2, 3: сумма $1+2+3=6$ , попарные произведения $2+3+6=11$ , произведение $6$ . Все три равенства выполняются.

Как это использовать: целый корень кубического уравнения всегда делитель свободного члена — по последней формуле. Подобрали корень, разделили на скобку по теореме Безу — и осталось квадратное уравнение, где снова работает обычный Виет.

Связанные темы

раздел

Теорема Виета — это 10 секунд вместо дискриминанта

На первом уроке научу подбирать корни мгновенно. Без зубрёжки — чистая логика произведения и суммы.

Записаться на урок

Первый урок — бесплатно, без обязательств

Тренажёр: теорема Виета

Пять режимов. Серия правильных ответов повышает сложность.

решено 0 / 10 серия 0 сложность

Теорема
Виета

Суть теоремы

Алгоритм решения

Разбор примера

Тренировка

Что это значит на графике

Теорема Виета на графике

Почему это работаетстепени 2–4

Тот же вывод — в тетрадь

Если старший коэффициент не единица

Приём: взаимно обратные корнипродвинутый

Как пользоваться

Симметрические выраженияпродвинутый

Виет для кубического уравненияпродвинутый

Связанные темы

Уравнения

Логарифмы

Все задания ЕГЭ

Теорема Виета — это 10 секунд вместо дискриминанта

Тренажёр: теорема Виета

ТеоремаВиета

Суть теоремы

Алгоритм решения

Разбор примера

Тренировка

Что это значит на графике

Теорема Виета на графике

Почему это работаетстепени 2–4

Тот же вывод — в тетрадь

Если старший коэффициент не единица

Приём: взаимно обратные корнипродвинутый

Как пользоваться

Симметрические выраженияпродвинутый

Виет для кубического уравненияпродвинутый

Связанные темы

Уравнения

Логарифмы

Все задания ЕГЭ

Теорема Виета — это 10 секунд вместо дискриминанта

Тренажёр: теорема Виета

Теорема
Виета